Никто не может без Excel

Александр Прохоров, Николай Прохоров

Задание сеточной области и расчет значений функции в узловых точках

Построение графика функции

 

Некоторые начинающие пользователи считают программу Excel инструментом для решения узкого круга проблем, в основном финансовых и бухгалтерских задач.

Действительно, в многочисленных руководствах по освоению Excel можно найти множество примеров учета финансов, расчета роста банковских вкладов и т.п. Гораздо реже в них встречаются примеры анализа инженерных задач. А между тем табличные процессоры являются идеальным инструментом для решения самых разных инженерных задач.

Продолжая нашу тему «Никто не может без Excel», мы рассмотрим достаточно распространенную в инженерных расчетах задачу, которая заключается в необходимости визуального анализа функции нескольких переменных, представленной в виде аналитического выражения.

Приведенный ниже пример демонстрирует, как Excel позволяет красиво и быстро справиться с подобного рода задачами и представить расчетные материалы.

Раскрывая широкие возможности Excel 2000 в статье подобного плана, бывает достаточно сложно не увязнуть в описании бесконечных возможностей программы. Поэтому рассмотрим весьма типичный, но конкретный пример. В качестве анализируемой функции выберем температурное поле. Предположим, что нам требуется определить, как будет выглядеть поле температур на поверхности массивного (полубесконечного тела), в случае когда на поверхности этого тела действует постоянный точечный источник теплоты. Согласно теории теплопередачи, если рассматривать тело как изотропный континуум и пренебречь зависимостью теплопроводности от температуры и влиянием поверхностной теплоотдачи, задача имеет простое аналитическое решение.

Поле температур описывается следующим выражением и является стационарным, то есть не зависит от времени:

где l — коэффициент теплопроводности ма териала;

q — мощность источника.

 Однако аналитическое решение при всей своей простоте не дает наглядного представления о форме температурного поля, и лет десять назад, когда не было такого удобного инструмента, как Excel, инженерам приходилось писать прикладную программу, на что уходило как минимум час времени. Сегодня с помощью Excel такую задачу можно решить за несколько минут. Табличный процессор идеально подходит для представления сеточной области, в узлах которой необходимо рассчитывать значения функции. Итак, рассмотрим этапы решения подобной задачи с помощью Excel.

Задание сеточной области и расчет значений функции в узловых точках

Для начала зададим параметры, определяющие характер распределения функции температур: мощность источника и свойства материала (его теплопроводность). Меняя данные параметры, мы сможем анализировать различные распределения функции. В ячейках B1 и С1 поместим имена параметров: мощность источника — q и теплопроводность материала — lam, а в ячейках B2 и С2 соответственно — значения этих параметров. К примеру, выберем теплопроводность 0,4 (Вт/(смЅград)), что соответствует теплопроводности стали, а источник теплоты возьмем мощностью 1000 Вт.

Далее определим сетку X, Y. Для этого в ячейках с D3 по N3 зададим значения Х с шагом 0,2 см, при этом во избежание деления на ноль в формуле сместим сетку относительно начала координат на 0,001 см, то есть вместо значения –1 см по оси Х, начнем со значения –1,001 см.

Как мы уже указывали в предыдущей статье этого цикла, нет необходимости заносить вручную все значения группы чисел, если они изменяются по известному закону. В данном случае достаточно ввести два числа, определив таким образом шаг сетки, и «протянуть» мышью значения на всю строку.

На рис. 1 видно, что в каждой ячейке на сеточной области, ограничиваемой строкой, где заданы значения X, и столбцом, где заданы значения Y, посчитаны значения температуры.

Значения в каждой ячейке посчитаны по одной и той же формуле для своего значения X и Y . Так, для ячейки E4 формула показана в строке формул (рис. 1):

=$B$2/(6.283*$C$2*SQRT(E$3^2+$C4^2))

Данная формула является записью приведенного выше выражения с учетом правил, принятых в Excel. В частности:

  • запись $B$2 означает, что переменная в ячейке с адресом B2 (в данном случае — мощность источника) является константой и соответственно не зависит от адреса ячейки, в которой она вычисляется (знак доллара, указанный перед номером строки и столбца, обозначает, что ссылка на данную ячейку является абсолютной и по строке, и по столбцу);
  • запись $С$2 означает, что переменная в ячейке с адресом B2 (в данном случае — теплопроводность материала) не зависит от адреса ячейки, в которой она вычисляется;
  • E$3 означает, что переменная (в данном случае — X) в ячейке E4 будет иметь относительный адрес столбца — Е (относительный в том смысле, что в ячейках разных столбцов он разный и зависит от индекса столбца) и абсолютный адрес строки — 3, то есть для любой ячейки значение переменной Х выбирается из строки 3 (на рис. 1 выделена коричневым цветом);
  • $C4 означает, что переменная (в данном случае — Y) в ячейке E4 будет иметь абсолютный адрес — столбец С (абсолютный в том смысле, что для любой ячейки значение переменной Y выбирается из столбца с индексом С; на рис. 1 столбец выделен желтым цветом) и относительный адрес строки 4 (относительный в том смысле, что в ячейках разных строк он разный и зависит от номера строки).

 Для того чтобы задать значение формулы во всех ячейках области, достаточно заполнить формулу в одной ячейке и, используя функцию перетаскивания мышью, распространить ее на всю строку, а затем всю строку протянуть на всю область. Дальнейшая задача сводится к построению графика.

В начало В начало

Построение графика функции

Для построения графика искомой функции прежде всего следует выделить область, которая включает значения температур в узлах сетки и значения X и Y, как показано на рис. 2. Затем следует вызвать панель мастера диаграмм (Chart Wizard) и выбрать в этой панели необходимый тип представления диаграммы, в данном случае — двухмерную поверхность (рис. 3). Далее можно выбрать один из четырех вариантов отображения двухмерной поверхности (объемное отображение поверхности, плоское в виде набора изолиний, проволочный каркас или выделение зон цветами).

 По нажатии кнопки Далее (Next) появится новая панель помощника построения диаграмм, содержащая несколько вкладок. Первая — Названия (Titles) позволяет дать название графику и сделать обозначения всех осей (рис. 4).

Последний шаг из четырех предложенных помощником построения диаграмм (рис. 5) заключается в выборе расположения подготовленного вами графика: на отдельном листе или рядом с табличными данными.

Если размер шрифта для обозначения осей выбран неудачно, например занимает слишком много места (рис. 6), это легко поправить. Достаточно щелкнуть правой кнопкой мыши по надписи — и появится приглашение отформатировать выбранную надпись.

После выбора соответствующих масштабов и шрифтов для надписей, а также перемещения отдельных элементов на поле графика, распределение функции может принять, например, такой вид, как показано на рис. 7.

Программа одним щелчком мыши позволяет редактировать не только надписи, но и практически любые элементы рисунка. Предположим, необходимо изменить диапазон значений температуры, внутри которого анализируется функция. К примеру, если вас интересует только та часть температурного поля, которая относится к твердой зоне, вы можете ограничить рассматриваемую часть температурного поля изотермой температуры плавления (например, для стали это 1500 °С). Для этого достаточно щелкнуть мышью по оси температур, в результате чего появится панель Форматирование оси (Format Axis), в которой необходимо выбрать вкладку масштаб (Scale). В данной вкладке можно изменить диапазон температур, в котором будет представлена функция (рис. 8). Здесь же можно определить количество изолиний, которыми будет представлена изображаемая поверхность.

Характер представления данных можно изменить в любой момент. Для этого достаточно щелкнуть мышью на пустом месте рядом с графиком, в результате чего появится панель (рис. 9), в которой можно поменять тип графика (Chart Type), область определения исходных данных (Source Data), параметры диаграммы (Chart Options), место расположения графика (Location). Здесь же имеется опция, позволяющая менять угол зрения на построенную поверхность и деформировать ее как трехмерный объект (3D View).

С помощью этой вкладки можно добиться оптимального представления анализируемой функции, поворачивая ее к зрителю произвольным образом (рис. 10).

Если вас не устраивает трехмерный объект — к примеру, вас интересует размер изотермы плавления, а на объемной поверхности этот размер определять неудобно, — нет проблем! Вернуться к плоскому отображению данных очень легко.

Выбрав в разделе Тип диаграммы плоский вариант, вы получите представление ваших данных в виде совокупности изотерм (рис. 11). Здесь, в частности, хорошо видно, что при заданном шаге сеточной области изотермы в области высоких температур отображаются с погрешностью. Очевидно, что с уменьшением шага и увеличением числа расчетных точек изотермы будут приближаться к окружностям. Неcмотря на искажения, по графику достаточно легко определить примерные размеры изотермы плавления (рис. 11 она составляет около 2 мм в диаметре).

Но главное удобство все же заключается не в возможности оперативно менять характер представления данных на графике, а в том, что в ваших руках — полноценный инструмент анализа влияния параметров расчетной формулы на характер распределения искомой функции.

Измените, например, мощность источника и теплопроводность материала — и вы тут же получите искомое распределение функции температур для данного материала при данной мощности источника.

Программа Excel, способная организовать в одной книге практически любое количество видов представления искомой функции и, например, баз исходных данных для разных материалов, — прекрасный инструмент для аналитика.

Если, получив окончательный вариант, вы хотите распечатать его для отчета, сделав на графике необходимые дополнительные пометки или надписи, — к вашим услугам панель инструментов для рисования, используя которую в график можно внести любые изменения (рис. 12).

Таким образом, не покидая Excel, вы можете менять исходные параметры, автоматически производить расчеты, мгновенно получать графики, которые можно модифицировать по целому ряду параметров и здесь же редактировать с помощью инструментов панели рисования. В свое время о таком инструменте можно было только мечтать.

КомпьютерПресс 3'2001